Legendre Denklemi

Legendre diferansiyel denklemi [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e15947a4fa605a4f73eb94a5566079f9.png Burada L, Legendre operatörüdür.

http://upload.wikimedia.org/math/d/4/5/d453a26b4ab5e7e1d363a1313c98fbee.png ; http://upload.wikimedia.org/math/b/a/6/ba61dd44d87c2a7871fcee6154538a3d.png

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

http://upload.wikimedia.org/math/7/4/d/74dcd8ebc9d35e60bdf4618383a9da2f.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/6/f/6/6f6055f8c6e0accfd539a0ca0725884b.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/f/3/8/f381268a438df03441a568a4e4e6e871.png

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

http://upload.wikimedia.org/math/f/5/2/f52941beb911c508a48cbcb6456b51c7.png http://upload.wikimedia.org/math/a/9/8/a98b8a9e56cfbbfb8393f1541e2bd147.png
http://upload.wikimedia.org/math/e/6/5/e65735ec8be76a2181f353eaa02301f2.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/1/9/6195b6fc880802f3fa1791ad9b72f34d.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/c/8/9c851890b232547f767ac6d0f63068ba.png
http://upload.wikimedia.org/math/0/9/5/095b8ff1ed25172c6bd4bacd516c5549.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/d/c/9dc8a6fe5bae45190faa2ecc332e4995.png

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

http://upload.wikimedia.org/math/9/d/3/9d36310443d77c53540a4670558b89b1.png

olur. Genellenirse

http://upload.wikimedia.org/math/6/b/3/6b39e9d7d11f3b123df5f4edfb10f6b4.png

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

http://upload.wikimedia.org/math/f/c/5/fc5c119dcd1589482e37047ecf4eb9d1.png

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

http://upload.wikimedia.org/math/9/9/9/9996de052889833426f07d92ac9d25f5.png

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre Polinomları denir, dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.